Формулы

Базовые операции с векторами

• Сложение векторов: \[ \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \end{pmatrix} \]
• Вычитание векторов: \[ \vec{u} - \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1 - v_1 \\ u_2 - v_2 \end{pmatrix} \]
• Умножение вектора на число: \[ c\vec{v} = \begin{pmatrix} cv_1 \\ cv_2 \end{pmatrix} \]
• Вектор между двумя точками: \(\vec{BA} = A - B\)

Норма вектора и расстояние

• Норма вектора в \(\mathbb{R}^n\): \[ ||\vec{v}|| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_n^2} \]
• Расстояние между точками \(P\) и \(Q\): \(d(P, Q) = ||Q - P||\)
• Нормирование (единичный вектор): \[ \hat{u} = \frac{\vec{v}}{||\vec{v}||} \]
• Теорема о параллелограмме: \[ ||\vec{a} + \vec{b}||^2 + ||\vec{a} - \vec{b}||^2 = 2(||\vec{a}||^2 + ||\vec{b}||^2) \]
• Квадрат нормы разности векторов: \(||\vec{a} - \vec{b}||^2 = ||\vec{a}||^2 - 2(\vec{a}\cdot\vec{b}) + ||\vec{b}||^2\)

Скалярное произведение

• Скалярное произведение (алгебраически): \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i \]
• Скалярное произведение (геометрически): \[ \vec{v} \cdot \vec{w} = ||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}|| \cos(\theta) \]
• Скалярное произведение и умножение на число: \(\vec{a} \cdot (k\vec{b}) = k(\vec{a} \cdot \vec{b})\)
• Дистрибутивность скалярного произведения: \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)
• Скалярное произведение и норма: \(\vec{v} \cdot \vec{v} = ||\vec{v}||^2\)
• Угол между векторами: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}||} \]
• Условие ортогональности: \(\vec{v} \cdot \vec{w} = 0\)

Векторное произведение и смешанное произведение

• Векторное произведение: \[\vec{a} \times \vec{b} = \det\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix}\]
• Модуль векторного произведения (геометрия): \(||\vec{u} \times \vec{v}|| = ||\vec{u}|| ||\vec{v}|| \sin(\theta)\)
• Тождество для векторного и скалярного произведений: \(|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2\)
• Смешанное произведение (объём параллелепипеда): \(V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|\)
• Смешанное произведение как определитель: \[\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}\]
• Проверка компланарности: три вектора компланарны, если \(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0\)
• Тождество двойного векторного произведения: \(\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}\)

Проекции и отражения

• Проекция вектора \(\vec{a}\) на вектор \(\vec{b}\): \[ \text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{b}||^2} \vec{b} \]
• Скалярная проекция (компонента): \[ \text{comp}_{\vec{w}}(\vec{v}) = \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{||\vec{w}||} \]
• Разложение вектора: \(\vec{v} = \vec{v}_{||} + \vec{v}_{\perp}\), где \(\vec{v}_{||} = \text{proj}_{\vec{w}}(\vec{v})\) и \(\vec{v}_{\perp} = \vec{v} - \vec{v}_{||}\)
• Отражение вектора \(\vec{a}\) относительно прямой с направляющим \(\vec{b}\): \[ \text{ref}_{\vec{b}}\vec{a} = 2 \cdot \text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} - \vec{a} \]

Геометрические формулы

• Середина отрезка: \[ \vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC}) \]
• Координаты середины (2D): \(M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
• Радиус-вектор центроида \(G\): \[ \vec{OG} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) \]
• Центроид треугольника: \(C = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)\)
• Вектор медианы: \[ \vec{AD} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC}}{2} \]
• Формула деления отрезка в отношении \(k:1\): \(R = \left(\frac{kx_2+x_1}{k+1}, \frac{ky_2+y_1}{k+1}, \frac{kz_2+z_1}{k+1}\right)\)
• Направляющие косинусы: \(\cos(\alpha) = \frac{a_1}{||\vec{a}||}, \cos(\beta) = \frac{a_2}{||\vec{a}||}, \cos(\gamma) = \frac{a_3}{||\vec{a}||}\)
• Тождество для направляющих косинусов: \[ \cos^2(\alpha) + \cos^2(\beta) + \cos^2(\gamma) = 1 \]
• Площадь треугольника в 3D: \(S = \frac{1}{2}||\vec{AB} \times \vec{AC}||\)
• Площадь параллелограмма через определитель: \(S = \sqrt{\det(A^T A)}\)

Линейная независимость и базис

• Условие линейной независимости: \(c_1\vec{v_1} + c_2\vec{v_2} + \dots + c_n\vec{v_n} = \vec{0}\) имеет только тривиальное решение (\(c_1=c_2=\dots=c_n=0\)).
• Базис в \(\mathbb{R}^n\) через определитель: векторы \(\{\vec{v_1}, \dots, \vec{v_n}\}\) образуют базис, если \(det([\vec{v_1} \dots \vec{v_n}]) \neq 0\).
• Разложение по базису: \[ \vec{v} = c_1\vec{b}_1 + c_2\vec{b}_2 + \dots + c_n\vec{b}_n \]
• Переход между базисами: \[ [\vec{v}]_{\mathcal{C}} = P_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}} [\vec{v}]_{\mathcal{B}} \]
• Матрица перехода (составление): \[ P_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}} = \begin{bmatrix} [\vec{b}_1]_{\mathcal{C}} & [\vec{b}_2]_{\mathcal{C}} & \dots & [\vec{b}_n]_{\mathcal{C}} \end{bmatrix} \]
• Обратный переход: \[ P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}} = (P_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}})^{-1} \]
• Переход через стандартный базис: \[ P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}} = (P_{\mathcal{S} \leftarrow \mathcal{B}})^{-1} P_{\mathcal{S} \leftarrow \mathcal{C}} \]

Свойства матриц

• Элемент произведения матриц: \((AB)_{ij} = \sum_{k} a_{ik}b_{kj}\)
• Обратная матрица \(2\times 2\): для \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\), \[ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]
• Обратная матрица через присоединённую: \(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\text{adj}(A)\)
• Определитель \(2\times 2\): \(\det(A) = ad-bc\)
• Определитель произведения: \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\)
• Вырожденная матрица: \(\det(A) = 0\)
• Ортогональная матрица: \(Q^T Q = I\) или \(Q^{-1} = Q^T\)
• Сохранение длины ортогональным преобразованием: \(||Qx|| = ||x||\)

Ранг матрицы

• Теорема о ранге и дефекте: \(\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n\)
• Оценка ранга суммы: \(\text{rank}(A+B) \le \text{rank}(A) + \text{rank}(B)\)
• Оценка ранга произведения: \(\text{rank}(AB) \le \min(\text{rank}(A), \text{rank}(B))\)
• Неравенство Сильвестра: \(\text{rank}(A) + \text{rank}(B) - n \le \text{rank}(AB)\)

Системы линейных уравнений

• Система уравнений: \(Ax = b\)
• Правило Крамера: \[ x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \]
• Решение через обратную матрицу: \(x = A^{-1}b\)
• Единственность решения (невырожденность): \(\det(A) \neq 0\)
• Нетривиальные решения однородной системы: \(\det(A) = 0\)

Аналитическая геометрия на плоскости

• Общее уравнение прямой (2D): \(Ax + By + C = 0\) (вектор \((A, B)\) — нормаль)
• Уравнение прямой в отрезках (2D): \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)
• Угловой коэффициент (2D): \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
• Угловой коэффициент из угла: \(m = \tan(\theta)\)
• Угловой коэффициент из общего вида: \(m = -\frac{A}{B}\) (для \(Ax + By + C = 0\))
• Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом (2D): \(y - y_1 = m(x - x_1)\)
• Перпендикулярные прямые (угловые коэффициенты): \(m_2 = -\frac{1}{m_1}\)
• Условие перпендикулярности (общий вид): \(A_1A_2 + B_1B_2 = 0\) (для прямых \(A_1x + B_1y + C_1 = 0\) и \(A_2x + B_2y + C_2 = 0\))
• Параллельные прямые (2D): \(\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}\)
• Совпадающие прямые (2D): \(\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}\)
• Расстояние от точки до прямой (2D): \(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)

Аналитическая геометрия в 3D: прямые и плоскости

• Параметрические уравнения прямой: \[\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}\]
• Канонические уравнения прямой: \[\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}\]
• Направляющий вектор как пересечение плоскостей: \(\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2\) (прямая — линия пересечения двух плоскостей)
• Уравнение плоскости (точка + нормаль): \(a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0\)
• Общий вид уравнения плоскости: \(ax + by + cz + D = 0\)
• Нормаль через векторное произведение: \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}\)
• Плоскость через три точки: нормаль \(\vec{n} = \vec{M_1M_2} \times \vec{M_1M_3}\), далее форма «точка + нормаль»

Аналитическая геометрия в 3D: расстояния и углы

• Угол между прямыми: \[\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{||\vec{v_1}|| ||\vec{v_2}||}\] (по направляющим векторам)
• Угол между плоскостями: \[\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| ||\vec{n_2}||}\]
• Угол между прямой и плоскостью: \[ \sin(\theta) = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| ||\vec{n}||} \]
• Расстояние от точки до прямой (3D): \[D = \frac{||\vec{P_0 P} \times \vec{u}||}{||\vec{u}||}\]
• Расстояние от точки до плоскости: \[d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + D|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\]
• Расстояние между скрещивающимися прямыми: \[d = \frac{|\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}\]

Конические сечения: общий вид и классификация

• Общее уравнение второго порядка: \(Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0\)
• Дискриминант (тип кривой): \(\Delta = B^2 - 4AC\)
  • \(\Delta < 0\): эллипс
  • \(\Delta = 0\): парабола
  • \(\Delta > 0\): гипербола
• Матрица квадратичной формы: \(A_{33} = \begin{bmatrix} A & B/2 \\ B/2 & C \end{bmatrix}\)
• Матрица полного квадратичного уравнения: \(A_q = \begin{bmatrix} A & B/2 & D/2 \\ B/2 & C & E/2 \\ D/2 & E/2 & F \end{bmatrix}\)

Конические сечения: канонические формы

• Окружность (канонический вид): \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)
• Эллипс (большая ось горизонтальна): \(\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1\)
• Эллипс (большая ось вертикальна): \(\frac{(x - h)^2}{b^2} + \frac{(y - k)^2}{a^2} = 1\)
• Связь фокусов эллипса: \(c^2 = a^2 - b^2\)
• Эксцентриситет эллипса: \(\varepsilon = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}\)
• Гипербола (действительная ось горизонтальна): \(\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1\)
• Гипербола (действительная ось вертикальна): \(\frac{(y - k)^2}{a^2} - \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1\)
• Связь фокусов гиперболы: \(c^2 = a^2 + b^2\)
• Эксцентриситет гиперболы: \(\varepsilon = \frac{c}{a} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}\)
• Асимптоты гиперболы (горизонтальная ось): \(y - k = \pm \frac{b}{a}(x - h)\)
• Асимптоты гиперболы (вертикальная ось): \(y - k = \pm \frac{a}{b}(x - h)\)
• Парабола (ось симметрии вертикальна): \((x - h)^2 = 4p(y - k)\)
• Парабола (ось симметрии горизонтальна): \((y - k)^2 = 4p(x - h)\)
• Парабола (простейшие формы): \(y^2 = 4px\) или \(x^2 = 4py\)
• Директриса (эллипс, горизонтальная большая ось): \(x = h \pm \frac{a}{e}\)
• Директриса (гипербола, горизонтальная действительная ось): \(x = h \pm \frac{a^2}{c}\)
• Длина фокальной хорды (латус rectum), эллипс и гипербола: \(l = \frac{2b^2}{a}\)

Параметрические уравнения

• Окружность (параметрически): \(x = h + r\cos\theta\), \(y = k + r\sin\theta\)
• Эллипс (параметрически): \(x = h + a\cos\theta\), \(y = k + b\sin\theta\)
• Основное тригонометрическое тождество: \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)

Неявное дифференцирование и касательные

• Неявное дифференцирование: для \(F(x, y) = 0\): \(\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} = -\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y}\)
• Условие перпендикулярности касательных: \(m_1 \cdot m_2 = -1\)
• Длина касательной из внешней точки: для окружности с центром \(C\), радиусом \(r\) и внешней точкой \(A\): \(\ell = \sqrt{(AC)^2 - r^2}\)

Преобразования координат и повороты

• Параллельный перенос: \(x = x' + \alpha\), \(y = y' + \beta\)
• Угол поворота (через котангенс): \(\cot 2\theta = \frac{A - C}{B}\)
• Угол поворота (через косинус): \(\cos 2\theta = \frac{A - C}{\sqrt{(A - C)^2 + B^2}}\)
• Формулы половинного угла:
  • \(\cos\theta = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos 2\theta}{2}}\) (знак от \(\cot 2\theta\))
  • \(\sin\theta = +\sqrt{\frac{1 - \cos 2\theta}{2}}\) (берут положительный корень)
• Матрица поворота: \(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}\)
• Поворот координат (явно): \(x = x' \cos\theta - y' \sin\theta\), \(y = x' \sin\theta + y' \cos\theta\)

Ортогональные инварианты

• Инварианты при повороте (эллипс / гипербола):
  • \(A + C = \tilde{A} + \tilde{C}\)
  • \(\det(A_{33}) = \tilde{A} \cdot \tilde{C}\)
  • \(\det(A_q) = \tilde{A} \cdot \tilde{C} \cdot \tilde{F}\)
• Координаты центра: решаем \(\begin{cases} Ax_0 + \frac{B}{2}y_0 + \frac{D}{2} = 0 \\ \frac{B}{2}x_0 + Cy_0 + \frac{E}{2} = 0 \end{cases}\)
• Инварианты для параболы:
  • \(\tilde{C} = A + C\)
  • \(\tilde{D} = 2\sqrt{\frac{-\Delta}{A + C}}\), где \(\Delta = \det(A_q)\)

Квадрики в 3D

• Сфера (центр в начале координат): \(x^2 + y^2 + z^2 = r^2\)
• Сфера (произвольный центр): \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\)
• Эллипсоид: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\)
• Эллиптический параболоид: \(z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}\)
• Гиперболический параболоид: \(z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}\)
• Однополостный гиперболоид: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\)
• Двуполостный гиперболоид: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1\)
• Круговой конус: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} = \frac{z^2}{c^2}\)

Линейные преобразования

• Матрица в стандартном базисе: \(A = \begin{bmatrix} T(\mathbf{e}_1) & T(\mathbf{e}_2) & \cdots & T(\mathbf{e}_m) \end{bmatrix}\)
• Матрица поворота (2D, против часовой на \(\theta\)): \(R = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}\)
• Матрица растяжения (2D): \(S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}\)
• Отражение относительно оси \(x\): \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\)
• Отражение относительно оси \(y\): \(\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
• Отражение относительно \(y = x\): \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)
• Матрица сдвига (горизонтальный): \(\begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
• Проекция на плоскость \(xy\) (3D): \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)
• Проекция на ось \(x\) (2D): \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)
• Композиция преобразований: \((S \circ T)(\mathbf{x}) = (BA)\mathbf{x}\), где \(T\) имеет матрицу \(A\), а \(S\) — матрицу \(B\)
• Теорема о ранге и дефекте (оператор): \(\text{nullity}(T) + \text{rank}(T) = \dim V\), где \(V\) — пространство определения \(T\).

Полярные координаты

• Полярные → декартовы: \(x = r \cos \theta\), \(y = r \sin \theta\)
• Декартовы → полярные: \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\), \(\tan \theta = \frac{y}{x}\)
• Прямая через две точки (полярные координаты): \(r[r_1 \sin(\theta - \theta_1) + r_2 \sin(\theta_2 - \theta)] = r_1 r_2 \sin(\theta_2 - \theta_1)\)
• То же (другая форма): \(\frac{1}{r} \sin(\theta_2 - \theta_1) = \frac{1}{r_2} \sin(\theta - \theta_1) - \frac{1}{r_1} \sin(\theta - \theta_2)\)
• Перпендикуляр к прямой в полярных координатах: \(r[r_2 \cos(\theta - \theta_2) - r_1 \cos(\theta - \theta_1)] = r_0[r_2 \cos(\theta_0 - \theta_2) - r_1 \cos(\theta_0 - \theta_1)]\)

Сферические координаты

• Сферические → декартовы: \(x = \rho \sin \varphi \cos \theta\), \(y = \rho \sin \varphi \sin \theta\), \(z = \rho \cos \varphi\)
• Декартовы → сферические: \(\rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\), \(\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)\), \(\varphi = \arccos\left(\frac{z}{\rho}\right)\)

Конические сечения: эксцентриситет, фокус и директриса

• Эксцентриситет эллипса: \(e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \frac{c}{a}\), где \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\) (при \(a > b\))
• Эксцентриситет гиперболы: \(e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \frac{c}{a}\), где \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)
• Эксцентриситет параболы: \(e = 1\) (всегда)
• Фокусы эллипса (горизонтальная большая ось): \((\pm c, 0)\), где \(c = ae\)
• Директрисы эллипса (горизонтальная большая ось): \(x = \pm \frac{a}{e}\)
• Фокусы гиперболы (горизонтальная действительная ось): \((\pm c, 0)\), где \(c = ae\)
• Директрисы гиперболы (горизонтальная действительная ось): \(x = \pm \frac{a}{e}\)
• Фокус параболы (ветви вправо): \((p, 0)\) для \(y^2 = 4px\)
• Директриса параболы (ветви вправо): \(x = -p\) для \(y^2 = 4px\)

Конические сечения в полярной форме

• Общий вид (вертикальная директриса): \(r = \frac{ed}{1 \pm e \cos \theta}\)
• Общий вид (горизонтальная директриса): \(r = \frac{ed}{1 \pm e \sin \theta}\)
• Эллипс (фокус в начале координат, правая директриса): \(r = \frac{a(1 - e^2)}{1 + e \cos \theta}\)
• Гипербола (фокус в начале координат, правая директриса): \(r = \frac{a(e^2 - 1)}{1 + e \cos \theta}\)
• Парабола (фокус в начале координат, директриса \(x = -2p\)): \(r = \frac{2p}{1 + \cos \theta}\)